去年学习 Shreve 的《金融随机分析2》和 Hull 的《期权、期货及其它衍生品》记的期权定价笔记。

重要的知识点都对其所在章节进行了标记，需要复习这些知识的朋友可以直接拿去当提纲用了。

一般而言，期权定价有两套方法：（1）解析分析（analytical analysis）；（2）概率分析（probablistic analysis）。

1 解析分析

解析分析的目标是得到描述衍生品价格变化的偏微分方程（partial differential equation, PDE）。在数学上，PDE 是用于描述一个函数

f(S, t)

对原生变量的偏导数

\partial{f}/\partial{S}

和

\partial{f}/\partial{t}

的变化过程的方程。

因此，考虑

f(S, t)

为衍生品价格，

S

为原生证券价格，

t

为时间。如果我们想要得到一个描述衍生品价格变化的偏微分方程，则我们需要：

（1）用一个偏导数表达式展开

df(S, t)

；

（2）为这个偏导数表达式找到一个等价关系。

df(S, t)

的偏导数展开由伊藤引理（Ito‘s lemma）给出（ 《金融随机分析2》第四章和《期权、期货及其它衍生品》第十三章），其形式很像泰勒展开：

df(S, t) = (\partial{f}/\partial{S})\cdot dS + (\partial{f}/\partial{t})\cdot dt + \frac{1}{2}\cdot (\partial^2{f}/\partial{S^2})\cdot dSdS

等价关系来源于无套利假设（no-arbitrage hypothesis）（《期权、期货及其它衍生品》第十四章）：

d\Pi =r\Pi dt

其中

\Pi

为一个由原生证券、期权和现金构成的多空组合。它的意义是该投资组合的收益率等于无风险利率，否则就会出现套利机会。

由此得到 Black-Scholes (BS) 方程（推导见 《金融随机分析2》第四章）：

\partial{f}/\partial{t} + rS\cdot (\partial{f}/\partial{S}) + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\cdot (\partial^2{f}/\partial{S^2})= rf

这里我想要表达的核心观点是：只要能够对函数的微分用偏导数进行展开，加上无套利假设给出的等价关系，我们一定可以找到描述衍生品价格的偏微分方程。而偏微分方程的解就是衍生品的价格。

无套利假设来源于金融，其多大程度上成立取决于市场；而在伊藤引理中，函数偏导数只展开到二阶项，是由布朗运动的二次变差（quadratic variance）等于时间长度

t

决定的。如果你的随机过程不能用布朗运动描述，那你需要进行具体分析展开式中要保留多少阶项（ 《金融随机分析2》第四章和书中习题 3.4）。

另一个帮我们找到偏微分方程的方法是费曼-卡茨定理（Feymann-Kac theorem）（ 《金融随机分析2》第六章）。但这个方法的前提是找到随机过程的鞅，所以它算是 “解析分析+概率分析” 结合的方法吧。

得到一个期权的偏微分方程，及其相应的边界条件（boundary condition）和最终条件（final condition）后，极少数情况下我们可以得到其解析解；大多数情况下我们可以通过数值求解（例如有限差分法）求解。对于高维的偏微分方程（涉及到多个原生证券）的数值求解，会出现 “维数灾难” （curse of dimensionality）的问题。其意思是，随着维数的增加，离散化(discretization) 所需要的格点 (grid points) 总数呈指数级增加（《期权、期货及其它衍生品》第二十章）。对于高维期权的定价，一般采用下面介绍的蒙特卡罗模拟。

2 概率分析

概率分析的起点很简单，

t

时刻衍生品价格的期望可以通过折现方式计算：

E[f(t)]= e^{-u(T-t)}\cdot E[f(T)]

其中

E[f(T)]

为

T

时刻期权价格的期望，

e^{-u(T-t)}

为折现因子，

u

为原生证券的收益率期望。

例如我们知道欧式看涨期权到期日的价格为：

C(T)=(S(T)-K)^+

则其

t

时刻的价格期望为：

E[f(t)]= e^{-u(T-t)}\cdot E[(S(T)-K)^+]

在以上表达式中，真实收益率期望

u

对不同原生证券不同，而且很难获知；依据哥萨诺夫定理（Gisanov’s theorem），在任意测度下，期权的定价都是一样的。因此，如果我们变换到风险中性测度（risk-neutral measure）下，我们不需要知道各个原生证券的真实收益率期望

u

是多少。只需要知道无风险利率

r

是多少。资产管理第二定律（fundamental theorem of asset pricing）证明了在市场完备的情况下，风险中性测度存在且唯一（（ 《金融随机分析2》第五章）。

例如，在欧式期权定价时，对于完备市场模型中的任意原生证券，在风险中性测度下，其期权的无风险贴现因子价格就是一个鞅（martingale），因此其价格期望为：

E[f(t)]= e^{-r(T-t)}\cdot E[(S(T)-K)^+]

除了风险中性测度外，理论上我们可以选择任意测度，其实质是选择不同的计价单位（numeraire）进行定价。在一些利率衍生品定价中，选择合适的计价单位可以大大简化计算（ 《金融随机分析2》第九章）。

考虑原生证券的价格连续变化，则期望可以用积分的形式表示：

E[g(x)] = \int_{-\infty }^{\infty } g(x)dP=\int_{-\infty }^{\infty } g(x)\cdot f(x)dx

上式第一个积分为勒贝格积分（Lebesgue integral）， 第二个积分为常见的黎曼积分。

勒贝格积分描述了一个随机变量

x

的函数

g(x)

对概率测度的微分

dP

的积分。概率测度不像实数轴一样连续变化，因此其积分计算相对复杂。幸运的是，我们知道，只要黎曼积分有定义，黎曼积分和勒贝格积分就一定相等（《金融随机分析2》第一章）。因此我们可以用常用的黎曼积分技巧来对计算一个随机变量的函数的期望。

在期权定价中，随机变量

x

为原生证券价格，其函数

g(x)

为期权到期日的价格表达式。

g(x)

的表达式一般依据期权的类型给定。因此，计算上述期望的难点在于，如何确定各种奇异期权（exotic options）的概率密度函数表达式

f(x)

。在对奇异期权定价时，

f(x)

通常是多个随机变量的的联合概率密度函数。例如美式期权（American option）和障碍期权（barrier option）定价要考虑停时（stopping time）问题；亚式期权（Asian option）和回望期权（lookback option）则要考虑其路径依赖（path-dependence）《金融随机分析2》第七、第八章）。

基于概率分析的数值方法一般有树模型（tree model）和蒙特卡罗模拟。树模型通过节点不断衍生来代表期权价格变化的各个可能性，得到树的结构以后，通过倒推就可以得到在特定时刻

t

的期权价格。树模型一般较常用于美式期权定价，而三叉树理论上和有限差分法求解 PDE 是等价的，因此同样存在维数灾难的问题，不适合于高维的期权定价。

蒙特卡洛模拟是基于大数定律，对高维积分进行计算的常用数值方法。对于低维的期权定价，其收敛速度慢于有限差分法或者树模型；但对于高维期权定价，其时间复杂度远小于有限差分法或树模型，因此不存在维数灾难的问题。且蒙特卡罗模拟本身易于并行化，所以是最常用的方法。

这两套方法的连接点是鞅表示定理（martingale representation theorem）（ 《金融随机分析2》第五章）。

考虑随机分析里面的伊藤积分（Ito‘s integral）：

I(t)=\int_{0}^{t} \Delta (u)dW(u)

I(t)

为伊藤积分的记号；

\Delta (u)

一般为非随机函数；

dW(t)

为布朗运动的增量。如果把伊藤积分记为微分形式：

dI(t)=\Delta (t)dW(t)

这是解析分析的起手式（《金融随机分析2》第四章）。

而概率分析的核心在于寻找鞅：

E[M(t) | F(s) ] = M(s)

鞅表示定理告诉我们，对于一个布朗运动，在其域流（Filtration）上的鞅

M(t)

一定存在函数

\Gamma(u)

，使得

M(t)

可以表示为初始条件

M(0)

和该布朗运动的一个伊藤积分

\int_{0}^{t}\Gamma (u)dW(u)

：

M(t) = M(0) + \int_{0}^{t}\Gamma (u)dW(u)

因此鞅表示定理把解析分析中的核心概念——伊藤积分，和概率分析中的核心概念——鞅，连接起来了。在随机分析的体系下，通过解析分析和概率分析进行期权定价是等价的。