泰勒公式只是展开到n项，后面因为太小了可以忽略不计，所以写成余项形式。和中值定理的关系是为了要找到f(x)的n阶展开式，并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小，要证明余项Rn(x)是存在的，而且是可求出来的。

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

泰勒公式的推导运用了多次柯西中值定理，目的是，要找到f(x)的n阶展开式，并使误差项Rn(x)为(x-x0)^n的高阶无穷小，就要用柯西中值定理证明余项Rn(x)是存在的，而且是可求出来的。在所给出的展开式中，Rn(x)被写在最后一项，把前面的n个含(x-x0)的代数式以及f(x0)都减到f(x)的一边,就得到了Rn(x)的表达式，因为题设f(x)有n+1阶导数，且(x-x0)^n的系数由f(x)的前n阶导数给出，自然有Rn(x0)=0，Rn在x0点的前n阶导数都为零，第n+1阶导数时，(x-x0)^n求导后全部导成常数零，等号这边只剩了n+1阶可导的f(x)。即你第一处红笔画线处成立。这样在n次使用柯西中值定理后，未知的Rn(x)的n+1阶导数可由f(x)的n+1阶导数所替换。Rn(x)被精确表示。第二。泰勒展开是在某点对f(x)进行展开，从而估计这一点附近的f(x)的值，使e^x这样无法求值的函数可求。所以x是在一个小区间(x0附近)来取值的，因此f n+1(x)有界，可设为M 。这样就可以对所造成的误差作最坏的估计，从而保证估值的精确。追答