The only thing standing between you and your goal is the bullshit story you keep telling yourself as to why you can't achieve it. ——The Wolf of Wall Street

声明：希望我们的专栏能帮助一些从事金融数学学习或研究者，文章内很多知识包括框架的梳理皆为原创性工作，其中也不乏某些定理的原创性证明，均为笔者多年研究学习总结，如能帮到在研究中或因参考教材缺乏、或因基本思路不清、或因数学知识储备不够等原因而困扰的你，对笔者来说是一件非常庆幸的事，也是一项值得的工作。不过希望学习转载时，请至少提及声明，也是对国内原创性科技文章的一种支持，谢谢！

另：从本文开始，我们的数学严格化。

前一篇中，我们了解到金融市场中一般的金融工具（金融资产）：债券、股票和衍生品。类似于在微观经济学中，我们通过供求曲线来确定商品的价格，现在我们也要给金融工具定价。

上一篇已经给出了它们的评估模型，但如何确定其中的利率（或者说收益率，也就是真正衡量金融工具价值的指标）是一个非常重要的问题，等同于定价问题。

• 对于债券的利率，我们可以通过《宏观经济学》中 IS-LM 曲线来确定，一般来说设为常数 r ，作为可观测的外生变量；
• 对于股票的收益率，它的确定在现实中更为艰难，理解为一个随机变量更为合适。不过我们可以通过微观经济学的均衡定价理论（多因子模型）来确定其期望收益率 \mu ；
• 关于衍生品的价格，很难用传统方法来确定，不过我们可以利用基于股票价格已知（即给定连续时间的评估模型）时的相对定价的方法来确定衍生品价格，也就是无套利定价理论（Black-Scholes 模型 / 跳扩散模型）。这种理论跳脱于一般的经济学理论框架，更偏向于一种“数学工程”。并且，后面我们一系列分析都会基于这一理论进行深入挖掘。

注意到无套利定价理论是我们最终的理论模型，由于其基于已知的股票信息，因此，我们可以将均衡定价理论作为第一步来确定股票的期望收益率，代入无套利定价理论模型中，再进行全面分析。比如后续基于 Black-Scholes 模型的最优投资策略的 Merton 公式 \pi=\frac{b+\delta-r}{\sigma^2} 应当将市场组合作为模型中的股票 S ，并用到市场组合的期望收益率的数据。

注：今后我们将不同于一般的金融工程学教程，或者更严谨的金融数学教程，因为一般的金融工程学中的数学理论部分很不严谨（见参考文献5），同时，我们也避免了金融数学中非常啰嗦的命题、定理式的罗列以及金融学语言的欠缺。考虑上述因素，本文尽力兼备数学的严谨性以及金融学的框架性，给出清晰的结构。

【一】均衡定价理论：多因子模型

经济学基本假设：市场均衡假设。

特点：单期静态。

均衡定价理论是利用微观经济学原理给股票定价。

第一步类似于商品市场利用消费者的效用最优角度给定需求曲线，这里我们从需求方的投资者角度，通过某种意义上与效用最优策略等价的均值方差最优策略给出类似于需求曲线的资本市场线（CML）以及市场组合（market portfolio）。其核心为 Markowitz 于1952年提出的一套均值方差分析理论（荣获1990年诺贝尔经济学奖），在日后无套利定价理论中也有一些应用。

第二步再利用市场均衡（供求平衡）得到证券市场线（SML）从而给股票的定价。这一模型也被称为 CAPM 模型（capital asset pricing model），由 Sharpe 等人于1964年首次提出。后经发展，逐步衍生为多因子模型，由 Ross 于1976年首次提出。

1. 均值-方差分析理论

首先，我们假设金融市场上存在 n （ n\ge 2 ）支股票 S 和 1 支零息国债 B 两种基本的金融资产，且时间点只有现在与未来年末：

• 债券 B ：具有确定性（相对无风险）回报，因此设它每年的利率为常数 r （也被称为无风险利率）；
• 股票 S ：具有不确定（随机）单期的收益率，因此设年收益率为随机向量，期望为 \mu =(\mu_1,\cdots,\mu_n)' ，且满足 \mu_i>r 以及 \mu\nparallel e （ e=(1,\cdots,1)' ）；协方差矩阵为 \Sigma=(\sigma_{ij})_{n\times n} （ \sigma^2_i:=\sigma_{ii} ， \sigma_i>0 为标准差，也称为波动率），且正定。

注：对资产 V 来说，设其年末价格为 V' ，分红为 D ，则年利率为

\mu_V = \frac{V'-V+D}{V}=b_V+\delta_V,\\

其中， b_V 为资本收益率（即资产价格的增长率）， \delta_V 为股息率。

作为投资者，它的投资策略是拥有一篮子股票与债券的组合，因此设其投资组合为 \bar\pi=(\pi_0,\pi_1,\cdots,\pi_n)' ，表示该投资组合拥有零息国债 B 占投资组合总价值的比例和第 i 支股票 S_i 占投资组合总价值的比例。于是，我们有： \sum_{i=0}^n \pi_i=1 。再记 \pi:=(\pi_1,\cdots,\pi_n)' ，于是容易算出：

• 投资组合 \bar\pi ：收益率的期望 \mu_{\bar\pi}=r+\pi'(\mu-re) ，方差 \sigma^2_{\bar\pi}=\pi'\Sigma\pi （ \sigma_{\bar\pi}\ge 0 ）。

均值-方差分析理论的核心是，投资者依照均值最大方差最小原则选择最优的策略 \bar\pi ，也就是考虑如下多目标优化问题：

\min_{\bar\pi } {(J_1(\bar\pi),J_2(\bar\pi))}:=\min_{\bar\pi } {(\sigma^2_{\bar\pi},-\mu_{\bar\pi})}. \tag{Q1} \\ 其中，一个策略 \bar\pi^* 称为有效策略如果不存在另一个策略 \bar\pi 使得 J_1(\bar\pi)\le J_1(\bar\pi^*) ， J_2(\bar\pi)\le J_2(\bar\pi^*) 。我们称 (J_1(\bar\pi^*),J_2(\bar\pi^*)) 为一个有效点。所有有效点的全体构成的集合成为有效前沿。

注：传统的决策理论是基于效用最大原则或者期望效用最大原则，在《微观经济学》中我们有过类似做法。但这里， Markowitz 将不确定情形下个人的决策归于对不确定性的均值与方差两个变量的选择，这种简单的分析把完整的概率分布信息仅归纳为两个特征数字，很可能会丢失有用信息，因此逻辑的严谨性值得怀疑。不过 Tobin 证明了，当效用函数是二次函数或者随机变量是正态分布时，均值方差最优等价于期望效用最优，具体见参考文献12。由于我们这部分单期的模型中，也可以简单认为股票的单期收益率服从正态分布，所以这样看来，均值方差分析是有效的，目的是为了建立不依赖于效用函数的数学模型。

根据《数学分析》理论，可以将上述多目标问题转化为如下等价的关于单目标条件极值问题，即给定期望 \xi 的最小方差问题，再通过改变期望 \xi 来生成有效前沿：

\begin{equation}\begin{aligned} &\min_{\pi } { \sigma^2_{\bar\pi}}=\min_{\pi } \pi'\Sigma\pi , \\ & {s.t.}\quad \mu_{\bar\pi}=re+\pi'(\mu-re)=\xi . \end{aligned}\end{equation}\\ 利用 Lagrange 乘子法，以及向量值导数 \frac{\partial (Ax)}{\partial x}=A'x ， \frac{\partial (x'Ax)}{\partial x}=(A+A')x ，进行如下分情况讨论：

（i）只拥有一支股票（增加约束 \pi_i=0 ， i\ge 2 ）：容易算出，此时的方差最小策略 \pi^*= \frac{\xi-r}{\mu_1-r } ，方差最小点 \left\{ \begin{aligned}\sigma^2_{\bar\pi^*}&=\frac{\sigma_1^2}{(\mu_1-r)^2}(\xi-r)^2\\ -\mu_{\bar\pi^*}&=-\xi\end{aligned} \right.，变动 \xi 得到一条参数化曲线，隐式化得到关于 ( \sigma_{\bar\pi^*},\mu_{\bar \pi^*}) 的有效前沿方程，即从 (0,r) 出发经过 (\sigma_1,\mu_1) 的含端点的射线，参考图1（验证最优解留作习题）

\mu_{\bar\pi^*}=\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}\sigma_{\bar\pi^*}+r,\quad \sigma_{\bar\pi^*}\ge 0,\quad\mu_{\bar\pi^*}\ge r.\\ 注：这里我们称关于 (\sigma_{\bar\pi^*},\mu_{\bar\pi^*}) （标准差替代方差）的图像为有效前沿，是为了在坐标轴上得到直线的更好的性质。

（ii）不持有债券（增加约束 \sum_{i=1}^n\pi_i=1 ）：构造 Lagrange 函数

L:=\pi'\Sigma\pi+\lambda_1(\pi'e-1)+\lambda_2(\pi'\mu-\xi).\\ 利用如下一阶条件：

\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \pi}&=2\Sigma\pi+\lambda_1e+\lambda_2\mu=0,\\ \frac{\partial L}{\partial\lambda}&=(\pi'e-1,\pi'\mu-\xi)=(0,0) . \end{aligned} \right.\\ 对第一行左乘 \Sigma^{-1} 得 \pi'=-\frac{\lambda_1}{2}e'\Sigma^{-1}-\frac{\lambda_2}{2}\mu'\Sigma^{-1}=:\tilde\lambda_1e'\Sigma^{-1}+\tilde\lambda_2\mu'\Sigma^{-1} ，代入第二行得：

\begin{pmatrix} A&B \\ B& C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde\lambda_1 \\ \tilde\lambda_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ \xi \end{pmatrix}.\\ 其中， A:=e'\Sigma^{-1}e ， B:=\mu'\Sigma^{-1}e=e'\Sigma^{-1}\mu ， C:=\mu'\Sigma^{-1}\mu 。得到唯一解（易证 AC-B^2>0 ）：

\left\{ \begin{aligned}&\tilde\lambda_1=\frac{C-\xi B}{AC-B^2},\\ &\tilde\lambda_2=\frac{\xi A-B}{AC- B^2}. \end{aligned} \right.\\ 于是，方差最小策略 \pi^*= \frac{C-\xi B}{AC-B^2}\Sigma^{-1}e+\frac{\xi A- B}{AC-B^2}\Sigma^{-1}\mu ，方差最小点 \left\{ \begin{aligned}\sigma^2_{\bar\pi^*}&=\frac{A\xi^2-2B\xi+C}{AC-B^2} \\ -\mu_{\bar\pi^*}&=-\xi\end{aligned} \right.，类似步骤我们得到关于 ( \sigma_{\bar\pi^*},\mu_{\bar \pi^*}) 的有效前沿方程，即含端点的双曲线右上半分支，参考图1（验证最优解留作习题）

\frac{\sigma^2_{\bar\pi^*}}{1/A}-\frac{(\mu_{\bar\pi^*}-B/A)^2}{(AC-B^2)/A^2}=1,\quad\sigma_{\bar\pi^*}\ge 1/\sqrt{A},\quad \mu_{\bar\pi^*}\ge B/A.\\

综合以上情况，均值方差问题（Q1）的有效前沿一定是从 (0,r) 出发与不持有债券时的有效前沿曲线（下图图1中黄 {MOD}曲线）相切的射线（图1中红 {MOD}射线），我们设切点为 M=(\sigma_M,\mu_M) ，对应的投资组合 \pi_M 成为市场组合（market portfolio），通过繁琐的步骤可算出（见参考文献13）：

\pi_M=\frac{\Sigma^{-1}(\mu-re)}{B-Ar},\quad \sigma_M=\frac{\sqrt{Ar^2-2Br+C}}{B-Ar} ,\quad \mu_M=\frac{C-Br}{B-Ar}. \tag{1.1}\\ 则可得如下结论：

均值方差问题（Q1）的有效前沿（也成为资本市场线（CML））为

CML:\quad \mu_{\bar\pi^*}=\frac{\mu_M-r}{\sigma_M}\sigma_{\bar\pi^*}+r,\quad \sigma_{\bar\pi^*}\ge 0,\quad \mu_{\bar\pi^*}\ge r.\\ 其中， M=(\sigma_M,\mu_M) 为市场组合对应的点，由（1.1）给出，也可参考如下图1。并且，我们得到两基金分离定理：任何投资者的有效策略 \bar \pi^*=(1-\omega,\omega \pi_M) 是以某个比例 \omega= \frac{\xi-r}{\mu_M-r } \ge 0 （ \xi\ge r ）持有市场组合 \pi_M ，某个比例 1-\omega 持有无风险债券，此时收益率的期望 \mu_{\bar \pi^*}=\xi （ \xi\ge r ），方差 \sigma^2_{\bar \pi^*}= \frac{\sigma_M^2}{(\mu_M-r)^2}(\xi-r)^2 （ \xi\ge r ）。

可以看出，如果我们定义 SR_{\bar \pi}:=\frac{\mu_{\bar \pi}-r}{\sigma_{\bar\pi}} 为投资组合 \bar\pi 的夏普比，则市场组合 \pi_M 拥有最高的夏普比。

2. CAPM 定价模型

在均值-方差分析理论的基础上，我们知道，在均衡时所有投资者的投资策略应当处于 CML 上， 并且对市场任一种股票 S_i （收益率期望为 \mu_i ，波动率为 \sigma_i ），假设拥有 l 比例的 S_i 以及 1-l 比例的市场组合 \pi_M ，则这个新的组合期望收益率与波动率分别为：

\begin{equation}\begin{aligned}\mu_{l}=& \ l\mu_i+(1-l)\mu_M=l(\mu_i-\mu_M)+\mu_M , \\ \sigma_l=&\ \sqrt{l^2\sigma_i^2+(1-l)^2\sigma_M^2+2l(1-l)\sigma_{iM}}\\ =&\ \sqrt{ l^2(\sigma^2_i +\sigma^2_M-2\sigma_{iM})+2l(\sigma_{iM}-\sigma_M^2)+\sigma^2_M}. \end{aligned}\end{equation}\\ 当 l 变化时，由之前分析可知，构建的组合在 (\sigma,\mu) 平面上画出一条穿过 (\sigma_M,\mu_M) 与 (\sigma_i,\mu_i) 的参数曲线，如下图中的虚线所示。特别的，当 l=0 时，构建的组合就是市场组合 \pi_M 。由于这条曲线不可能高于资本市场线 CML，否则意味着通过市场组合与该股票构建的组合可以达到比资本市场线更优的收益方差组合，与资本市场线的定义（有效前沿）矛盾，故该曲线只能与 CML 相切于 (\sigma_M,\mu_M) 。

由上分析知，该曲线在 M 点的斜率与 CML 的斜率相等，故有：

\frac{\mathrm{d}\mu_l}{\mathrm{d}\sigma_l}\bigg{|}_{l=0}=\left(\frac{\mathrm{d}\mu_l}{\mathrm{d}l} \bigg /\frac{\mathrm{d}\sigma_l}{\mathrm{d}l} \right) \bigg{|}_{l=0} =\frac{\mu_M-r}{\sigma_M}.\\ 经过计算，我们可得对股票 S_i 期望收益率的 CAPM 定价方程（也可用于投资组合）：

SML:\quad\mu_i=r+\beta_i(\mu_M-r) .\\ 其中， \beta_i:=\frac{\sigma_{iM}}{\sigma^2_M} 成为 beta。如果将 \beta_i 视为横坐标，将 \mu_i 视为纵坐标，则可得下图（图2）的证券市场线（SML）。且由推导知，CAPM 模型对投资组合的定价也适用。

注1（数据来源）：我们往往用最小二乘法（OLS）来估计 SML（也可用于投资组合），即

\mu_i-r=\alpha_i+\beta_i( \mu_M-r)+\varepsilon_i.\\ 上式在统计学中为单因子模型（或一元线性模型，在后续该专栏的下部分我们会详细介绍有关统计方面理论），其中， \alpha_i 为截距项， \varepsilon_i 为残差项，服从正态分布。无风险利率 r 视为可观测的外生变量，自变量 \mu_M 用股票市场的总指数（代表市场组合，如沪深300指数）历史数据的期望年收益率。

注2（Jensen's alpha）：根据注1的思想，对股票 S_i （也可用于投资组合），我们令

\alpha_{i}=\mu_{i}-r-\beta_{i}(\mu_M-r).\\ 称之为该股票的 Jensen's alpha，或 Jensen 指数，表示该股票期望回报率相对证券市场线的垂直偏离，由注1中的截距项得到估计。虽然理论上任何股票的 alpha 为 0 ，但实际中，如果基金经理发现了某支股票，使得其 alpha 为正，那么即使其夏普比 SR_{\bar \pi} 小于市场组合的夏普比，也应该判断这支股票的基金经理表现优异。原因在于，我们可以通过该股票与市场再组合，得到夏普比高于市场组合的投资组合，也就打败了市场。所以，这也是为什么基金经理更喜欢说自己赚的是 alpha 而不是 beta。

3. 多因子定价模型

由于现实中，均衡资产定价理论的实证结果并不理想，所以经过不断发展，CAPM 的单因子模型逐步被多因子模型（多元线性模型）取缔。最先由 Ross 基于套利定价（APT）的思想提出，其思路是：在非均衡状态下，市场中存在套利的机会，而套利的关键在于对历史数据进行总统计并进行分析，从中寻找出规律，抓住获利的机会。而 Fama 与 French 最先提出了三因子模型（1993），重点分析了所选定的三个因子：市场组合的风险溢价、账面市值比与上市公司的市值（即股权价值）。而后，推广到 Fama-French 五因子模型（2013），增加了投资风格与盈利能力两个因子。关于这些因子指标的解释以及选取，可以参考《财务报表》相关课程。

一般来说，对于股票 S_i ，多因子定价模型如下（也可用于投资组合）：

\mu_i-r= \sum_{k=1}^m\beta_{i,k}E_k .\\ 其中， E_k 是第 k 个因子的因子溢价，作为解释变量， \beta_{ik} 称为第 k 个因子的 beta， r 仍为无风险利率。

注1（数据来源）：仍然用最小二乘法（OLS）来估计股票的期望收益率（也可用于投资组合），即

\mu_i-r=\alpha_i+\sum_{k=1}^m\beta_{i,k}E_k+\varepsilon_i.\\ 上式在统计学中为多元线性模型，其中， \alpha_i 为截距项， \varepsilon_i 为残差项，服从正态分布。无风险利率 r 视为可观测的外生变量，自变量 E_k 选取历史数据。

注2（Jensen's alpha）：仍然，对于股票 S_i （也可用于投资组合），我们令

\alpha_i=\mu_{i}-r-\sum_{k=1}^m\beta_{i,k}E_k.\\ 称之为该股票的 Jensen's alpha，或 Jensen 指数，由注1中的截距项得到估计。

【二】无套利定价理论：Black-Scholes 模型

经济学基本假设：无套利假设（是市场均衡假设的必要条件）。

特点：连续时间动态。

无套利定价的假设是市场不存在套利的机会，即无风险无成本获得利润。这个假定要比均衡定价中市场均衡的假设要弱很多，因为市场均衡的情形下，一定没有套利的机会，而市场没有套利的机会并不意味着市场一定出清！在该假设下，无套利定价野心没有那么大，从无到有把资产价格确定下来，而是基于一些已知的金融资产的价格，给其他一些相关的金融资产定价，故又称为相对定价。

另外，不同于单期的静态 CAPM 模型，无套利定价理论是基于连续时间的动态资产过程。

该部分我们考虑的理论模型 Black、Scholes 以及 Merton 于1973年同时创立的 Black-Scholes 模型（又称为 Black-Scholes-Merton 模型，荣获1997年诺贝尔经济学奖），它不仅给出了传统金融工具的价格模拟，还给出了现代金融学中更为重要的金融衍生品的定价结论！同时，Black-Scholes 模型只是最基础的定价模型，现代理论已推广到更一般的模型，但在接触前沿理论前，我们有必要把最基础的模型以及理论框架了解清楚。

注：这部分我们正式步入现代化的数学理论，需要读者掌握《随机分析》中的基础知识，可戳文章Chaos：随机分析（一）和Chaos：随机分析（二））。

1. 股票与债券的价格模型

首先，假设金融市场中存在股票和零息国债两种基本的金融资产，它们的价格分别为某个随机过程 S_t （单位：元/股）和 B_t （单位：元/元），初值分别为常数 S_0>0 和 1 。另外，股票的分红为随机过程 D_t （单位：元/股），初值为 0 。且分别满足如下 Black-Scholes 随机微分方程和常微分方程（ 0\le t\le T ）：

\left\{ \begin{aligned}&\mathrm{d}S_t=bS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d} W_t, \quad \mathrm{d}D_t=\delta S_t\mathrm{d}t; \\& \mathrm{d}B_t=rB_t\mathrm{d}t.\end{aligned} \right.\\ 其中，期望资本收益率 b 与资本波动率 \sigma >0 ，期望股息率 \delta 满足 0\le \delta<\mu ； r>0 表示零息国债的年利率（或者说无风险利率）； W_t 为 Wiener 过程； T>0 表示未来某个时刻（单位为年）。该模型可视为上一篇中评估模型的连续时间化版本，这里的期望资本收益率、波动率、期望股息率并不是真正的按照这些变化率的数学期望给出，只是用来衡量该变化率的一个参数，具体来源由后文注释（数据来源）给出。

注：实际中，我们通常只取交易日数据，因此 T 为期限内总交易日天数 / 250天。

我们可以这样来分析股票价格随机微分方程的含义：

利用差分， \frac{\Delta S_t}{S_t}=b\Delta t+\sigma\Delta W_t ，故 \frac{\Delta S_t}{S_t}\sim N(b\Delta t, \sigma^2\Delta t) ，因此，在短时间 \Delta t 内， \frac{\Delta S_t}{S_t} 的期望近似为 b\Delta t ， \frac{\Delta S_t}{S_t} 的标准差近似为 \sigma\sqrt{\Delta t} 。另外， \frac{\Delta D_t}{S_t}= \delta\Delta t ，因此，在短时间 \Delta t 内， \frac{\Delta D_t}{S_t} 近似为 \delta \Delta t 。

另外，这里我们考虑连续时间金融。虽然现实世界的交易都是离散的（哪怕高频交易每秒发生的数量是巨大的，但也不是连续的），但连续时间化的优点在于能利用更强的数学工具得到更优美简洁的结果，对现实世界也是有指导意义。

设 W_t 为概率空间 (\Omega,{\cal F},{\mathbb P},\{{\cal F}_t\}_{t\le T}) 上的 Wiener 过程（ \{{\cal F}_t\} 为 \{{\cal F}_t^W\} 的加强修正，满足“通常条件”），则由《随机分析》中线性随机微分方程的结论相关，可如下定义 S_t 、 D_t 与 B_t 使之满足上述方程组（ 0\le t\le T ）：

\left\{ \begin{aligned}& S_t=S_0 e^{(b-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t},\quad D_t=\delta\int_0^tS_u\mathrm{d}u; \\& B_t=e^{rt}.\end{aligned} \right.\\ 实际上， S_t 为 Black-Scholes 随机微分方程的强解（具有强唯一性），也称为几何布朗运动。

注1（对数正态分布）：设 Y= e^{X} ，而 X\sim N(\mu,\sigma^2) ，则称 Y 服从对数正态分布，记作 Y\sim LN(\mu,\sigma^2) 。密度函数为 \frac{1}{ x\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ，期望为 e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2} ，方差为 e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1) 。借此，在 Black-Scholes 模型中可以算出， \mathbb{E}[S_t] = S_0e^{bt} 。

注2（对数收益率）：由 S_t 公式知， \ln(\frac{S_t}{S_0})\sim N((b-\frac{\sigma^2}{2})t, \sigma^2t) ，因此，对数收益率 \ln(\frac{S_1}{S_0}) 的期望不等于的期望资本收益率 b ，而是会更低一些！

注3（数据来源）：无风险利率 r 仍视为可观测的外生变量，一般选择十年期零息国债的年利率（转化为连续复利利率）；期望资本收益率 b 在需要时可如下给出，由第一章的 CAPM 定价模型估计得到年期望资本收益率 （单利）

b_{\text{simple1}} =\mu_{\text{simple1}}-\delta_{\text{simple1}}= \mathbb{E}[\frac{S_1 -S_0}{S_0}],\\ 结合注1， \mathbb{E}[S_1] =S_0 e^{b} ，于是有 b= \ln(1+b_{\text{simple1}}) ，相当于对单利的年期望资本收益率 b_{\text{simple}} 的连续复利转化；对于期望股息率 \delta ，先计算出期望的年化股息率（单利）

\delta_{\text{simpleT}}=\frac{\mathbb{E}[D_T]}{TS_0},\\

由注1， \mathbb{E}D_t = \delta\int_0^t \mathbb{E}[S_u]\mathrm{d}u=\delta\int_0^t S_0e^{bu}\mathrm{d}u=S_0\frac{\delta}{b}(e^{bt}-1) ，故 \delta = \frac{bT}{e^{bT}-1}\delta_{\text{simpleT}} ，也可近似为 \delta\approx \delta_{\text{simpleT}} （注意到，这里我们先算出整个时间的总分红 D_T ，再年化处理，是由于一般来说，分红时间不均匀，集中在每年4-8月）；波动率 \sigma 可通过两种方式预测，其一，历史波动率，由注2知，对数收益率服从正态分布，因此，考虑日对数收益率 \ln(\frac{S_{{1}/{250}}}{S_0}) ，我们有 \sigma=\sqrt{250}\cdot \mathbb{D}^{\frac{1}{2}}[\ln(\frac{S_{{1}/{250}}}{S_0})] （标准差），另外，历史波动率还有日内波动率估计法（Parkinson 估计，G-K 估计，R-S 估计，Y-Z 估计等）以及时间序列估计法（EWMA模型、Garch 模型等，但由于时间序列往往只能预测短期数据，故一般不用在定价理论，而用于后面的《风险管理理论》）。其二，隐含波动率（首选），利用后文第三节的 B-S 公式

C=S_0e^{-\delta T}F(d_1)-Ke^{-rT}F(d_2),\\ 将 \sigma 表示成为看涨期权价格 C 的函数 \sigma=\sigma(C) ，而 C 是可观测的数据，称 \sigma 为该期权的隐含波动率，用市场隐含波动率来预测相对来说更准确一些，另外，隐含波动率由于对未来的风险溢价因素往往比历史波动率高一些，高出的平均水平称为波动率溢价，但由于国内很多期权是场外期权，很多时候无法直接用隐含波动率来估计。

• 风险中性测度的存在性

无套利定价理论的核心在于假想了一个与真实世界类似的“平行世界” ，又称“风险中性世界”。在这个世界中，金融资产的市场结构和价格都与真实世界一样，但不同的是，这个世界中的概率度为假想的概率测度 \mathbb{Q}_T （不同于真实世界的概率测度 \mathbb{P} ），且世界里的投资者都是风险中性的，效用函数为 U(x)=x ，因此，他们会以资产未来支付的期望值贴现来给资产定价，对于股票来说，也就有

S_0 ={\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}_T}[e^{-(r-\delta)T}U(S_T) ]={\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}_T}[e^{-(r-\delta)T}S_T ].\\ 这种创造性的理论只是为了便于计算资产价格而创造出来的一种思维工具，因此，我们只需要构建出这个假想的风险中性世界中的概率测度 \mathbb{Q}_T 。

注（效用函数）：类似《微观经济学》中的消费者的效用函数，这里金融市场中投资者的效用函数一般来说也具有边际效用递减的性质，这是由于投资者的风险厌恶导致的，在获取一定收益基础上，再获取更多的金融资产带来的收益将面临更大的风险，而投资者不愿意承担风险来获取这部分收益，因此，效用函数 U(x) 为凹函数。但是，在我们假想的风险中性世界里面，投资者呈风险中性态度，也就是效用函数为线性函数，即 U(x)=x 。

由 Girsanov 定理可知，此时存在与 {\mathbb{P}} 等价的概率测度 \mathbb{Q}_T （ 定义为 \mathbb{Q}_T=\int M_T\mathrm{d}\mathbb{P} ，其中， M_t 为关于 \int_0^t-\theta\mathrm{d} W_s （ \theta:=\frac{b+\delta-r}{\sigma} ）的指数鞅，且满足 Novikov 条件，故为连续鞅，且为 L^p 鞅， \forall p\ge 1 ）。且 \tilde{W}_t:=W_t+\frac{b+\delta-r}{\sigma}t 为新的概率空间 (\Omega,{\cal F},\mathbb{Q}_T,\{{\cal F}_t\}_{t\le T}) 上的 Wiener 过程（且 {\cal F}_t^{\tilde W}= {\cal F}_t^{ W} ，故流 \{{\cal F}_t\} 也为 \{{\cal F}_t^{\tilde W}\} 在 \mathbb{Q}_T 下的加强修正，满足“通常条件”），同时我们可在新的测度 \mathbb{Q}_T 下改写股票的价格：

S_t=S_0 e^{(b-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t} =S_0 e^{(r-\delta-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma \tilde W_t}.\\

同时，股票的贴现价格为 e^{-(r-\delta)t}S_t =S_0e^{\sigma \tilde W_t-\frac{\sigma^2}{2}t} ，其在新的概率测度 \mathbb{Q}_T 下为鞅，故初始价格 S_0 ={\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}_T}[e^{-(r-\delta)T}S_T ] ！

注：为什么不是用 e^{-rT} 因子来贴现，这是由于单持有股票并非自融资资产组合（见下文），因为我们可以提取股票的分红作为利润。

因此，我们也称 \mathbb{Q}_T 为等价鞅测度（EMM，equivalent martingale measure）或风险中性测度，意味着在风险中性测度的世界中，投资者都是风险中性的，所以都会以股票未来支付 S_T 的无风险折现来给股票定价。

2. 投资组合的价格模型

由无风险债券和股票的价格模型，我们可以导出市场上一般的投资组合的价格模型。

设市场上某个投资者的一个投资策略为 \phi_t=(a^0_t,a^1_t) 。其中， a_t^0 （单位：元）和 a^1_t （单位：股）为循序可测过程（初值分别为常数 a^0_0 和 a^1_0 ），满足 \int_0^T|a^0_t|\mathrm{d}t<\infty 及 \int_0^T|a^1_t|^2\mathrm{d}t<\infty ，分别表示该投资组合 t 时刻拥有无风险债券 B_t 的数量和股票 S_t 的数量（又称头寸）。

此时，该投资者拥有的投资组合 \phi 在 t 时刻的价值为 V_t(\phi)=a^0_t B_t+a^1_t S_t 。

但为了使得投资组合 \phi 满足模型的设定，还需假定其系数 a_t^0 和 a^1_t 满足如下条件：

（i）自融资条件： V_t(\phi)-V_0(\phi)=\int_0^t a^0_s\mathrm{d}B_s+\int_0^ta^1_s\mathrm{d}S_s+\int_0^t a^1_s \mathrm{d}D_s ；

（ii）容许条件：存在常数 c ，使得 V_t(\phi) \ge c ， 0\le t\le T 。

注1：自融资条件的含义是，通过复制对投资组合中各金融资产的数量进行调整，故投资组合价格的改变等于交易的利润，也就是说不能从投资组合中提取利润，也不能追加投资，我们可以从离散的《 {MOD}策略》角度来理解这个条件；容许条件的含义是，投资组合的价格都是有下界的。

注2：特别的， \phi_t=(1,0) 满足条件，表示只持有无风险债券；而 \phi_t=(0,1) 不满足，因为只持有股票时获得的分红利润不允许被提取，而必须用来投资无风险债券。

注3：实际上，该模型为三个变量（ a_t^0 、 a^1_t 、 V_t(\phi) ），两个方程（价值等式以及自融资条件），故只需知道 a^1_t （及初始值 V_0(\phi) ）即可求解其他两个变量。

• 投资组合的无套利性

我们称一个投资组合 \phi 是套利的，如果： V_0(\phi)=0 ， V_T(\phi)\ge 0 ， {\mathbb{P}}(V_T(\phi)>0)>0 。其含义是，投资者可以以概率 1 将一个初始价值为零的投资组合转化为价值为正的最终资产。

在风险中性测度 \mathbb{Q}_T 下，股票的贴现价格为鞅，我们自然想知道，投资组合的贴现价格是否也为鞅？很遗憾，答案是否定的（但在一定可积性条件下为鞅），但这并不影响市场的无套利性。

可以算出，投资组合的贴现价格为 e^{-rt}V_t(\phi)=V_0(\phi)+\int_0^t\sigma b_s\cdot e^{-rs}S_s\mathrm{d}\tilde{W}_s ，其在风险中性测度 \mathbb{Q}_T 下为下有界局部鞅，故为上鞅，因此，初始价格 V_0(\phi) \ge{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}_T}[e^{-rT}V_T(\phi) ] 。

此时市场是无套利的：反设存在一个套利 \phi ， V_0(\phi)=0 ， V_T(\phi)\ge 0 ， {\mathbb{P}}(V_T(\phi)>0)>0 。由于测度等价，故上式在 \mathbb{Q}_T 下也成立，故 0=V_0(\phi) \ge{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}_T}[e^{-rT}V_T(\phi) ] ，由 V_T(\phi)\ge 0 ，故 V_T(\phi)= 0 ，与 \mathbb{Q}_T(V_T(\phi)>0)>0 矛盾！

3. 衍生品的价格模型

除了无风险债券、股票和一般的投资组合外，我们还假定市场上存在金融衍生品这一特殊的金融工具。

设衍生品为在 T 时刻提供的一个支付 H ，其为一个有下界的 {\cal F}_T- 随机变量。

为了使得衍生品 H 满足下文模型的完备性设定，还需假设其满足以下条件：

（i）可积性条件： {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}|H|^2<\infty 。

例1（期货）：由上一篇知，我们可定义期货 H=S_T-p （针对期货买方，表示 T 时刻以价格 p 购买股票 S_T 后的实际收益）， p\ge0 。

例2（欧式期权）：定义欧式期权 H=\Phi( S_T) ，其中， \Phi 为 \mathbb{R} 上满足 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}|\Phi( S_T)|^2<\infty 的非负函数。

例3（路径依赖期权）：定义路径依赖期权 H=\Phi(S_{t_1},\cdots,S_{t_d}) （ t_d =T ）， \Phi 为 \mathbb{R} 上满足 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}|\Phi(S_{t_1},\cdots,S_{t_d})|^2<\infty 的非负函数。

• 市场的完备性

在风险中性测度 \mathbb{Q}_T 下，股票的贴现价格为鞅，从而有初始价格定价关系；投资组合的贴现价格为非负局部鞅（也为上鞅），从而有初始价格的比较关系。那么对衍生品 H 来说，如何找到一个最“公平”的投资组合复制该衍生品，从而确定其初始价格？

我们先给出完备性结论：

（i）存在唯一初始价格最低的投资组合 \phi 复制 H ，即 H=V_T(\phi) ；

（ii）任何上述投资组合 \phi 的贴现价格 e^{-rt}V_t(\phi) 在风险中性测度 \mathbb{Q}_T 下为鞅，故衍生品的初始价格 V_0(\phi)={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}V_T(\phi)]={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H]。

而 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}(e^{-rT}H) 也称为衍生品 H 的初始价格，或定价公式。可以看出，这种定价是公平的，故也称为“公平定价”。

证明：首先，由于投资组合的初始价格 V_0(\phi) \ge{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}_T}[e^{-rT}V_T(\phi) ]={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H] ，故 V_0(\phi) 的下界为 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H] 。而若投资组合初始价格达到下界时，其贴现价格显然为 \mathbb{Q}_T 下的鞅。故下面只需具体构造出这样的一个投资组合：我们希望能构造一个投资组合 \phi ，使得贴现价格 e^{ -rt} V_t(\phi) 在 \mathbb{Q}_T 下为一个鞅，且 T 时刻为 e^{-rT}H ，故 e^{ -rt} V_t(\phi) ={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H|{\cal F}_t] 。

由于 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}|H|^2<\infty ，故 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}|e^{-rT}H|^2<\infty ，在 \mathbb{Q}_T 下由鞅表示定理知， {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H|{\cal F}_t] 为连续 L^2 鞅，且存在唯一 \varphi_t\in {\mathfrak L}_{T}^*(\langle\tilde W\rangle) ，使得 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H|{\cal F}_t]={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H]+\int_0^t\varphi_s\mathrm{d}\tilde W_s。比较该表示与先前风险中性测度下投资组合贴现式 e^{-rt}V_t(\phi)=V_0(\phi)+\int_0^t\sigma b_s\cdot e^{-rs}S_s\mathrm{d}\tilde{W}_s ，可得 b_t=\frac{e^{rt}\varphi_t}{\sigma S_t} ，以及 V_0(\phi)={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H]。可验证，相应的 \phi_t=(a_t,b_t) 确实为一个投资组合，且 e^{-rt}V_t={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H|{\cal F}_t] 为连续 L^2 鞅， V_T(\phi)=H 。 ☐

注：该证明最重要的是利用了等价测度 \mathbb{Q}_T 下的 Wiener 过程 \tilde W_t 自然流的加强与原来的流 {\cal F}_t 一致，这是由于我们的系数 b 、 \delta 、 \sigma 和 r 都是非随机的数，从而可在 (\Omega,{\cal F},\mathbb{Q}_T,\{{\cal F}_t\}) 及 \tilde W 下直接用鞅表示定理。而若推广到更一般的模型中， \tilde W_t 自然流 {\cal F}^{\tilde W}_t 的加强会比原来的流 {\cal F}_t 更小，所以一切有关完备性定理（包括后面的复制对冲方法以及最优投资策略的鞅方法）的证明更为复杂，所用到的鞅表示定理以及广义 Clark-Ocone 表示定理均需在原概率 \mathbb P 下进行，且均需结合条件期望的条件 Bayes 法则！

虽然我们证明了市场的完备性，即任意衍生品 H 存在复制，但并不知道复制的具体形式，关于具体的复制构造，详见后续的《B-S模型：复制对冲方法》。

• 期货定价理论

将完备性结论用于期货 H=S_T-p ，为使得存在投资组合 \phi 复制期货 V_T(\phi) = S_T-p ，期货价格 p 应满足（由于签订期货合约并不要钱，因此期货合约本身没有价格）：

0 ={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}H ]={\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}(S_T-p) ].

因此，可得期货价格 p=S_0e^{(r-\delta)T} （我们一般针对期货称其交割价格为期货价格，而非合约价格，因为合约本身价格为零）。

• 期权定价理论

将完备性结论用于欧式期权 H=\Phi( S_T) （路径依赖期权 H=\Phi(S_{t_1},\cdots,S_{t_d}) ），则：

存在投资组合 \phi 复制该衍生品，即 V_T(\phi)=\Phi({S}_T) （ V_T(\phi)=\Phi(S_{t_1},\cdots,S_{t_d}) ），且贴现价格 e^{-rt}V_t(\phi) 在风险中性测度 \mathbb{Q}_T 下为鞅。

因此，欧式期权的初始价格为： V_0(\phi)= {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}\Phi({S}_T) ] 。

（路径依赖期权 V_0(\phi)= {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}\Phi(S_{t_1},\cdots,S_{t_d}) ] ）

注（欧式看涨/看跌期权定价公式）：利用对数正态分布的密度函数，可以得欧式看涨期权定价公式的显示表达 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}(S_T-K)^+]=S_0e^{-\delta T}F(d_1)-Ke^{-rT}F(d_2) ，和欧式看跌期权定价公式的显示表达 {\mathbb{E}_{\mathbb {Q}_T}}[e^{-rT}( K-S_T)^+]= Ke^{-rT}F(-d_2)-S_0e^{-\delta T}F(-d_1) 。其中， F 为标准正态分布的分布函数， d_1:=\frac{\ln{S_0}-\ln{K}+(r-\delta+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} ， d_2:=d_1-\sigma\sqrt T 。该公式便是著名的 Black-Scholes-Merton 公式。另外，我们有关系： V_{EC}(K) - V_{EP}(K) = V_{F}(K) ，分别为行权价为 K 的欧式看涨期权、欧式看跌期权以及具有初始价格的交割价为 K 的期货的定价。

【三】无套利定价理论：跳扩散模型

（该部分内容为 VIP 内容，意思是，等作者以后出书了或者写pdf了记得购买，记得关注作者~）

【附】公司金融：资本结构的选择

上一篇我们给出了最基本的权衡理论来说明公司资本结构的选择，但只能用于定性分析，这里我们利用无套利定价理论的框架，可以进一步给出公司的资本结构理论。为简便起见，我们在 Black-Scholes 模型下考虑。

仍设两个除资本结构不同其它完全相同的公司，杠杆公司总价值为 V^L_t ，无杠杆公司总价值为 V^U_t 。

对于无杠杆公司的总价值， V^U_0=E^{U}_0=N^US_0 ，其中， N^U 为公司拥有股票的数量，且有

\mathrm{d}V^U_t= V^U_t(\mu\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t).\\

对于杠杆公司的总价值，设 V^L_0=V_0^U+PV(\tau I)-PV(R) 。其中， PV(\tau I) 是税盾现值， \tau 是公司的所得税。设公司当前的债权价值为 D_0 （无现金流支付且到期时间为 T ），并且债务的利率为 r_D （连续复利），则到期应付利息为 (e^{r_DT}-1)D_0 ，由于税盾效应可节税 \tau (e^{r_DT}-1)D_0 ，于是税盾现值为

PV(\tau I)= e^{-r_D T} \tau (e^{r_DT}-1)D_0 =(1-e^{-r_D T})\tau D_0.\\

另一方面，公司的破产成本是由于到期 T 公司因无法偿还债务而破产带来的成本，这就需要用到实物期权理论（contingent claim analysis），因为可以将成本看成债权人卖给公司的一份看欧式跌期权，意味着时间 T 如果公司总资产 V_T^U< D_0e^{r_D T} ，则公司破产，债权人获得 V_T^U 的支付，相当于公司少支付了 D_0e^{r_D T}-V_T^U ，否则债权人获得所有支付。于是，公司在 T 时刻的收益为 ( D_0e^{r_D T}-V_T^U)^+ ，由 Black-Scholes 公式可得其现值为

PV(R)= D_0e^{(r_D-r) T}F(-d_2)-V^U_0F(-d_1) .\\

于是，杠杆公司的总价值为

V^L_0=V_0^U+(1-e^{-r_D T})\tau D_0-(D_0e^{(r_D-r) T}F(-d_2)-V^U_0F(-d_1) ).\\

令 \frac{\partial V_0^L}{\partial D_0} =0 可求得最优债权价值 D^*_0 ，于是杠杆公司的最优杠杆率为 D^*_0/V^L_0(D_0^*) 。而公司的股权价值为

E^L(D_0^*)=V^L_0(D_0^*)-D^*_0.\\

【参考文献】

1. 《金融经济学二十五讲》（徐高, 2017）

2. 《The Malliavin Calculus and Related Topics》（David Nualart, 2006）

3. 《Brownian Motion and Stochastic Calculus》（Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve, 1991）

4. 《Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models》（Steven E. Shreve, 2004

5. 《Mathematical Finance》（Ernst Eberlein, Jan Kallsen, 2019）

6. 《Monte Carlo Methods in Financial Engineering》（Paul Glasserman, 2003）

7. 《Lévy Processes and Stochastic Calculus》（David Applebaum, 2004）

8. 《Financial Modeling with Jump Processes》（Rama Cont, Peter Tankov, 2004）

9. 《Applied Stochastic Control of Jump Diffusions》（Bernt Øksendal, Agnès Sulem, 2019）

10. 《Convergence of Probability Measures》（Patrick Billingsley, 1999）

11.《Jumps and stochastic volatility: the exchange rate processes implicit in Deutschemark options》（David S. Bates, 1996）

12. 《Liquidity preference as behavior towards risk》（Tobin James, 1958）

13. 《An Introduction to Mathematical Finance with Applications》（Arlie O. Petters, Xiaoying Dong, 2016）

14. 《On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates》（Robert C. Merton, 1974）