解：f(-x)=[(-x)²-1]³=(x²-1)³=f(x)，是偶函数。对称轴x=0，即函数关于y轴对称。
取a＞b≥1，f(a)-f(b)=(a²-1)³-(b²-1)³=[(a²-1)-(b²-1)][(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²]=(a²-b²)[(a²)²-2a²+1+a²b²-a²-b²+1+(b²)²-2b²+1]；
∵a＞b≥1，∴a²-b²=(a+b)(a-b)＞0；而a²-1＞0，b²-1＞0，即：(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²＞0，也就是说在x∈[1，+∞)时，函数单调递增；根据对称性可知，x∈(-∞，-1]时，函数单调递减。

另外，在x∈(0，1)时，取值a＞b，同样可算出：f(a)-f(b)=(a²-1)³-(b²-1)³=[(a²-1)-(b²-1)][(a²-1)²+(a²-1)(b²-1)+(b²-1)²]＞0，【a²-1＜0，b²-1＜0，∴(a²-1)(b²-1)＞0】，即在区间x∈(0，1)时，函数也是单调递增的，x=1时，函数f(x=1)=(1²-1)³=0，函数在实数轴有意义。

即函数f(x)的图象是一个和y=x²类似的图象，存在极小值f(x=0)=(0²-1)³=-1；
函数在x∈(-∞，0)单调递减，在x∈(0，+∞)单调递增。

极值正无限和负一。负无限到零上减。零到正无限上增。