讨论日期：2020.4.10；2020.4.16.

本次我们讨论金融基本定理（fundamental theorem of finance）和套利（arbitrage）。

资产的定价基于市场无套利原理，即，均衡的市场下不存在套利机会。金融基本定理（fundamental theorem of finance）则给出了市场无套利的充要条件。市场上不存在套利机会的充要条件为资产定价关系是正线性关系。因此，本次讨论组首先我们给出一些需要用到的概念和数学定义，然后介绍套利和资产定价的线性关系，以及金融基本定理。

数学符号

首先要熟练掌握以下概念和定义。

Security Market

对于一个证券（security）j，我们有一个支付向量： \textbf{x}_j =(x_{j1}, x_{j2}, ... , x_{jS}) ,其中 x_{js} 是证券 j 在状态（state） s 下（在date 1） 的支付（payoff）。

那么市场上J个证券的支付矩阵（payoff matrix）可以写为:

X = \begin{pmatrix} \textbf{x}_{1} \\ ... \\ \textbf{x}_{J} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11} &... & x_{1S} \\ ... &... & ...\\ x_{J1} &... & x_{JS} \\ \end{pmatrix}

对一个投资组合（portfolio） \textbf{h} = (h_1,...,h_J)\in\mathbb{R}^J ，它的组合支付向量（portfolio payoff）为 \textbf{hX}\in\mathbb{R}^S 。

asset span是市场投资组合支付向量的集合，记作 M= \{\textbf{z}\in\mathbb{R}^S:\textbf{z = hX}, \textbf{h}\in \mathbb{R}^J\}

complete market （完全市场）是满足asset span M = \mathbb{R}^S 的市场，这个条件等价于收益矩阵的秩 rank(X) = S 。

Incomplete market（不完全市场）则对应asset span M \subset \mathbb{R}^S 的市场，此时收益矩阵的秩小于状态的数目， rank(X) < S 。比如当证券数量 J<S 时，市场就是一个不完全市场。

假设J个证券（在date 0）的价格向量为 \textbf{p}= (p_1,...,p_J) ，其中 p_j 为第j个证券的价格，那么资产组合 \bf h 的价格可以写为 \textbf{ph} = \sum_{j=1}^J p_jh_j 。假设价格 p_j 不为0，则第j个证券的（gross） return 为r_j =\frac{x_j}{p_j} 。

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Linear Pricing

当我们给一个投资组合定价的时候，比较自然的想法是根据这个组合的收益或者称作支付（payoff）来定价，比较高payoff 的组合应当有比较高的价格；有相同payoff的资产组合应该有相同的价格, 这就是资产定价满足的一价定律。而一价定律又告诉我们资产的定价关系是线性的，接下来我们具体介绍这个观点。

一价定律（law of one price，LOP）：具有相同支付（payoff）的资产组合应有相同的价格（price）。即，如果 \bf hX =h'X ，则\bf ph = ph' 。

一价定律的一个特例是，支付为0的资产组合价格也为0（只需要令 \bf h'=0 即可得出这个结论）。

从一价定律得出的一个比较自然的想法是，我们可以用支付向量来给资产组合定价。我们把从支付向量获得价格的这个函数映射关系称为资产的的定价关系。因此下面我们介绍3个泛函。这也是理解金融基本定理时需要熟练掌握的概念。

1）payoff pricing functional

支付定价泛函 q(z) 在给出一个投资组合的payoff vector \bf z 时，返回其对应价格的集合。

q(z) = \{w:w=\textbf{ph},for\ \ some\ \ \textbf{h}\ \ s.t.\bf z=hX \} , \textbf{z}\in M (M：asset span)

在满足一价定律的情况下，支付定价函数返回的价格是一个值，并且它是一个线性函数。

（这个泛函的作用是，告诉我们如果知道第1天一个投资组合的的payoff vector，那么第0天这个组合该有怎样的价格。）

2）portfolio pricing functional

投资组合定价泛函 p(\textbf{h}) ，在给出投资组合 \bf h 时，返回一个价格。

p:\mathbb{R}^J\rightarrow\mathbb{R}\quad p(\textbf{h}) =\bf ph

3）payoff operator

支付算子对一个投资组合返回一个payoff vector。 X：\mathbb{R}^J\rightarrow M

那么我们容易有以下结论：

1）\textbf{h}p =q(\bf hX) , \forall \bf h 。

2）如果没有冗余证券，则X有右逆矩阵记作R，那么 \bf z =hX \Rightarrow zR=h ，于是 \forall \textbf{z}\in M, \textbf zRp =q(\textbf z) 。这告诉我们没有冗余证券的时候确切的定价函数求法，并且可以看到支付定价函数是支付向量的线性函数。

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Arbitrage and Positive Pricing

上面我们讲到，资产的定价关系应该是满足一价定律的，从而它应该是线性的。那么当现实生活中出现不满足这个定律的情况时，交易者就可以通过构建一些资产组合实现套利。套利并不是指获取投资收益，而是指一些不需要付出成本和风险就可以获得利润的投资组合。而套利机会被更多人发现后，市场又会被推动到一个新的平衡，失去这个套利空间。

作为金融市场的参与者，我们希望抓住一些套利机会，那么市场究竟存不存在套利，就是金融基本定理给出的内容。

那么什么是套利（arbitrage）呢？接下来我们给出它的数学定义。

Strong arbitrage（强套利）：一个有非负支付（ \textbf hX\geq\textbf 0 ）和负的价格（ \textbf{ph}<0 ）的资产组合。

Arbitrage（套利）: 一个有非负支付（ \textbf hX\geq\textbf 0 ）和非正的价格（ \textbf{ph}\leq0 ）的资产组合。

例子：假设两个资产的payoff分别为 X_1 = (1,1),\ \ X_2=(1,2) ，价格分别为 p_1 = p_2 =1 。那么 \textbf{h} = (-1,1) 即为一个arbitrage。但是这个情况不存在strong arbitrage。

下面的定理告诉我们一价定律不满足时，市场存在强套利。

定理：市场不满足一价定律（LOP）等价于市场存在强套利，即：

\lnot LOP\Leftrightarrow \exists \textbf h \ \ s.t.\textbf hX = \textbf 0, \textbf{hp} < 0

图解

这里我们用一个图示的例子来理解上面讲的套利的概念。假设我们有2个证券，3个状态。

在 (h_1,h_2) 坐标平面中把3个支付状态向量（支付矩阵列向量）和价格向量的方向分别用红 {MOD}和蓝 {MOD}向量表示，那么三条虚线表示他们的垂线，也就是零支付和零投资组合的线。标记出的红 {MOD}扇形区域即满足 \textbf h X\geq \bf 0 的资产组合。蓝 {MOD}的半平面为为 \textbf hP\leq0 的资产组合。

也就是说，当红 {MOD}扇形区域和蓝 {MOD}扇形区域有交集的时候，存在套利空间。即当价格向量 \bf p 包含在支付向量 X_{1:3} 张成的夹角区域内（ cone(X_{\cdot,i}) ）时，不存在套利空间。

Positivity of payoff pricing functional

如果一个泛函为其定义域内的每个正元素赋正值，则该泛函为正泛函（positive）。如果泛函F(x)可以表示为 fx , f 是一个向量，那么 F(x) \ \ is \ \ positive \Leftrightarrow f \ \ is\ \ positive 。

下面就是金融基本定理研究的问题，给出市场无套利的充要条件。

定理：支付定价泛函是线性正泛函的冲要条件是市场无套利。

证明：必要条件：若存在套利，那么 \exists \textbf {h,hp}<0, \textbf{hX }\geq\bf 0 . 令 z = hX ， g(z)<0 ，支付定价函数不是正泛函。充分条件：市场无套利说明，市场满足一价定律（LOP），那么支付定价泛函是线性泛函。接下来证明它是正泛函。如果 z\in M, z=hX>0 ,那么 q(z) = ph ，因为无套利p\in cone(X_{\cdot,i}) ，所以p是 X_{\cdot,i} 的正线性组合。所以 ph =cXh=cz>0 (c是正的)，所以对所有 z,q(z)>0 。证毕。

定理说明，市场无套利下，有正的payoff 的证券一定有正的价格。

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Pricing Kernel

我们还可以从定价核的角度看套利和金融基本定理。

定价核（pricing kernel）（也称为随机折现因子（stochastic discount factor，SDF））包含了丰富的信息，它隐含了市场效用类型以及投资者的风险偏好。

在一个经济体里，投资者配置资产的目的是为了最终获得财富，而财富最后用于消费（consumption），消费产生效用（utility）。可以证明，对于任意的资产，总是满足下面的关系: p_{t} = \mathbb{E}(m_{t+1}(p_{t+1}+d_{t+1})) 。即t时刻的资产价格是t+1时刻的价格和红利之和的折现。由于下一期的价格和红利的数值都是不确定的，所以我们对其取期望。而这个用来折现的函数 m_{t+1} 本身也是一个随机变量，一般称作随机折现因子(SDF)或者更流行地被称作定价核。

对于一个agent，假设其在date 0的消费（consumption）为 c_0\in\mathbb{R} ，在date 1的消费为 \textbf{c}_1 =(c_{11},...,c_{1S})\in\mathbb{R}^S 。我们考虑有限个agent。

第i个agent的效用函数（utility）记为 \textbf{u}^i: \mathbb{R}^{S+1}\rightarrow\mathbb{R}, \textbf{u}^i(c_0,\textbf{c}_1) .

第i个agent的endowment（可以理解为cash）， 在date 0记作 w_0^i ，在date 1记作 {w}_1^i\in\mathbb{R}^S .

Riesz Representation

回顾泛函中的Riesz representation。

F：\mathscr{H}\rightarrow \mathbb{R} 是希尔伯特空间 \mathscr{H} 中的一个连续线性泛函，存在一个唯一的向量 k_f\in\mathscr{H},\ \ s.t.\ \ F(x) = k_f \cdot x,\forall x\in\mathscr{H} ，称为Riesz representation。

对 \mathbb{R}^S 的普通内积， k_f = (k_{fs}) ， k_{fs} = F(e_s) ， F(X) = \sum_s k_{fs}x_s 。（这里 e_s 是 (0,0,...,1,...,0) 是仅在状态s上取1的state claim向量）

对一个 \mathbb{R}^S 中的期望内积（expectation inner product定义见下），若 F(X) = \sum_s k_sx_s ， 那么k_{fs} = k_s/\pi_s ，有 F(X) = E(k_fX) 。

Expectation Kernel

expectation inner product： x\cdot y = \mathbb{E}[x y] =\sum_s\pi_sx_sy_s ， \parallel x\parallel = \sqrt{\mathbb{E}(x^2)} =\sqrt{var(x)+(\mathbb{E}x)^2}

expectation functional： \mathbb{E}(z) = \sum_s\pi_sz_s ，此处payoff z\in M （我们认为M是希尔伯特子空间）。那么它的Riesz kernel k_e 应该在asset span M内 （\mathbb{E}(z) = \mathbb{E}[k_ez]=\sum_s\pi_sk_{es}z_s ）。

如果无风险支付（risk-free payoff，payoff为 (1,...,1) 与状态无关）在asset span M内，那么 k_e =(1,...,1) 。因为 E(z) = \sum \pi_s z_s ， k_{es} = \pi_s/\pi_s =1 ，且 k_e\in M 。

回忆payoff pricing functional q(z) = \{w:w=\textbf{ph},for\ \ some\ \ \textbf{h}\ \ s.t.\bf z=hX \}

对应的定价核记作 k_q\in M （即q(z) = \mathbb{E}(k_q z)\ \ (Eq.1)，这里 \mathbb{E} 的符号指的是expectation functional）

用定价核的角度看套利：

如果市场无套利（（strong）arbitrage），那么存在一个正的状态价格向量（（strict）positive state price vector ）(q_1,...,q_S)\ \ s.t.\ \ q(z) = \sum q_sz_s ，其中 q_s = q(e_s) ，是state claim e_s 的价格。

令 \frac{q}{\pi} =( \frac{q_1}{\pi_1},...,\frac{q_S}{\pi_S}) ，我们可以把支付定价泛函写成 q(z) = \mathbb{E}(\frac{q}{\pi}z) （Eq.2）。

由Eq.1和Eq.2可得： \mathbb{E}((\frac{q}{\pi}-k_q)z) = 0,\ \ \forall z\in M ，因此 (\frac{q}{\pi}-k_q) 是M的正交线。

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Fundamental Theorem of Finance

经过前面的铺垫后，接下来我们介绍金融基本定理。首先要知道value functional的

value functional

value functional是payoff functional从asset span M（payoff functional的定义域）到整个 claim space \mathbb{R}^S 的扩展，功能同样是如果知道了第二天投资组合的支付（payoff），在第一天给它一个价格（price）。在asset span M上value functional和payoff functional是一样的；针对M不是全空间的情况，value functional Q 也给出M外的区域从payoff到price的映射。

Q: \mathbb{R}^S\rightarrow\mathbb{R}\quad s.t.\ \ Q(z) = q(z)\ \ \forall z\in M

那么在M以外的地方应该如何扩展出去会比较合理呢？后面会讲到。

金融基本定理（Fundamental Theorem of Finance）：证券价格使市场无套利的冲要条件是存在一个严格正的value functional。

（在不只是考虑两个日期的情况下（比如布朗运动），金融学基本定理有相应的形式，比如市场无套利无套利当且仅当存在一个martingale（鞅过程）。）

对于金融基本定理的证明，有几种不同的角度和方式。下面我们先看一下金融基本定理的应用：我们怎样判断是否存在一个严格正的value functional？如果存在，这个正的value functional又是什么形式？

下面的定理将会解决这些问题。

在这里首先我们要介绍state price的概念。

state price

考虑一个定义在 \mathbb{R}^S 上的value functional Q，令 q_s =Q(e_s) （回顾 e_s 是状态s的claim向量，只在第s维是1其他是0），那么我们把 q_s 称为状态s的状态价格（state price）。因此 Q(z) = \sum_s z_sq_s =qz,\ \ \forall z\in \mathbb{R}^S 。

对上述概念的理解，通俗的说，泛函的作用就是输入一个向量输出一个数，这个数可以表示为两个向量的内积，这个用来内积的向量就是kernel。联系上面讲的定价核，状态价格 (q_1,...,q_s,...,q_S) 就是Q的kernel。

下面的定理告诉我们，只要存在一个正的状态价格向量 q 满足 p =Xq ，那么就存在正的valuational funtional。

公式1 linear system： p =Xq

定理 存在一个正的value functional 当且仅当公式1存在一个严格正的解 q ，我们只需把这个value functional定义为 Q(z) = qz, \forall z \in\mathbb{R}^S 。

公式1中价格向量p是已知的，支付矩阵X也是已知的，但是我们不一定能解出来q。当X列满秩时，满足公式的q是唯一的。如果解出来有一个 q 是正的，就是没有套利的。下面我们看一个例子来理解。

例子 假设我们有两个证券，一个是债券（bond），支付向量为 x_1 = (1,1,1) ，价格为 p_1 =\frac{1}{2} ；另一个是股票（stock），支付向量为 x_2=(1,2,4) ，价格为 p_2 = 1 。我们把数据带入公式1，寻找 (q_1,q_2,q_3) 满足 p=Xq ，解得 q_1 = 2q_3 ， q_2=\frac{1}{2}-3q_3 。那么可以知道当 q_3\in [0,\frac{1}{6}] 时， q_{1:3}>0 。如果我们以该股票为标的产生一个行权价格为3的看涨期权，那么该期权的payoff就是 (0,0,1) ，此时这个payoff就是state claim e_3 ，所以期权的价格应该是 q_3 ，也就是期权的价格应该在 [0,\frac{1}{6}] 之间。

我们看到例子中因为证券数量少于状态数，X不满秩，所以是不完全市场，我们可以解出很多个q。但是我们考虑以下情况，如果我们有100个证券，只有3个state的话，会发生什么呢？那时候，市场上有比较多的冗余的证券，其实只要3个证券就可以把其他证券复制出来的，也就是说，冗余证券较多的时候就套利机会比较大，也就是说能不能套利和市场完全不完全没有必然关系，刚刚的情况虽然是完全市场，但仍然可以套利。

例子中债券（bond）的payoff是（1,1,1）称为risk-free payoff，因为它的支付跟状态没关系。股价如果是（1,2,4）然后期权行权价是3，那个payoff是（0,0,1），那么期权就不能唯一定价，只能看到应该在[0,1/6]之间定价。

下面我们回到金融基本定理的证明。首先从偏数学的角度进行证明。

Farkas-Stiemke Lemma

Farkas： \not\exists\ \ a\in\mathbb{R}^m\ \ s.t.\ \ aY\geq 0\ \ and\ \ a^Ty<0\ \ \Leftrightarrow\exists\ \ b\in\mathbb{R}^n\ \ s.t.\ \ y=Yb\ \ and\ \ b\geq0

上面Farkas引理是线性规划中经常用到的引理。也可以理解为套利图解例子中那个几何形式的数学描述，它们本质上是一样的。这个引理是说，如果要证明一个线性规划有解，只要把解拿出来就行了，而说明它没有解可能就很难。那么这个引理就是把证明无解转化为证明有解，线性规划里证明无解和有解是一样难的：证明左边的线性规划无解等价于证明右边的线性规划有解。

这样把金融数学里我们刚刚定义的符号带进去，令 Y= X, y=p,a=h,b=q ，就发现这个引理就是在说没有套利就等价于正的valuation functional。

Stiemke：

\not\exists\ \ a\in\mathbb{R}^m\ \ s.t.\ \ aY\geq 0\ \ and\ \ a^Ty\leq0\ \ \ and \ \ either\ \ aY>0\ \ or \ \ a^Ty<0 \\ \Leftrightarrow\exists\ \ b\in\mathbb{R}^n\ \ s.t.\ \ y=Yb\ \ and\ \ b\gg0

Stiemke引理跟Fakras相似，就是强套利和严格正的区别。

下面我们用偏金融的角度证明金融基本定理。

存在严格正的value functional \Rightarrow 存在严格正的payoff functional \Rightarrow 无套利。因此我们只需要证明反向的推导。

value functional是payoff functional的拓展，那我们的拓展方式可以为，先在asset span M外面定义一个点上的价格，然后再一个点一个点的扩展下去。那么在asset span外（即组合的payoff没法用证券的线性组合得到）的一个点怎么定价呢？这里的主要思想是找到一个upper bound和lower bound：如果payoff比较高，那么价格应该更贵；如果payoff比较小，那么价格应该更便宜。下面是详细过程。

首先挑选一个 \hat z\not\in M ，我们需要确定 \hat z 的值 \pi 。先对contingent claim z处的价格定义上下确界。

Bounds on the contingent claim z\in \mathbb{R}^S

upper bound:q_u(z) = \min_h(p^Th: hX\geq z)\quad\big(q_u(z)=\max_{q\geq0}(qz\ \ s.t.\ \ p=Xq)\big)

lower bound: q_l(z) = \max_h(p^Th: hX\leq z)\quad\big(q_l(z)=\min_{q\geq0}(qz\ \ s.t.\ \ p=Xq)\big)

这里左边定义和右边括号里的是等价的。

(1) 下面我们先证明，如果无强套利，在M内， q_u(z) =q(z)=q_l(z) 。

根据定义， q_u(z)\geq q(z) ，如果存在 z\in M, q_u(z)>q(z) ，那么 \exists h,\ \ hX\geq z,\ \ p^Th<q(z) （这里h对应 q_u(z) ）。假设 \hat hX = z, p^T\hat h=q(z) （这里 \hat h 对应 q(z) ）。那么 \hat h-h 是一个强套利。同理可证， q_u(z) =q(z)=q_l(z) 。

(2) 接下来我们证明，若无强套利，在全空间 \mathbb{R}^S 上， q_u(z)\geq q_l(z) 。

如果存在一些z使得 q_u(z)<q_l(z) ，那么就存在 h',h'' 使得 h'X<h''X ， 且p^Th'>p^Th'' ，那么 h'' - h' 是一个强套利。

(3) 现在我们固定 \hat z\not\in M ，定义 N = \{z+\lambda \hat z:\ \ z\in M,\lambda\in\mathbb{R}\} ，由（2）说明存在 \pi 使得 q_l(z)\leq \pi\leq q_u(z) 。我们定义Q为q在M外的扩展，扩展方式如下： Q: N \rightarrow\mathbb{R} ， Q(z+\lambda\hat z) =q(z)+\lambda\pi 。

(4)我们现在证明，若无强套利，Q是正的。

令 y\in N,\ \ y=z+\lambda\hat z\ \ (z\in M) ，假设 \lambda>0 。则 y\geq0\Rightarrow \hat z\geq-\frac{z}{\lambda}\Rightarrow q_l(z)\geq q_l(-\frac{z}{\lambda}) = q(\frac{z}{\lambda}) ，最后一步是因为 q_l 是增函数以及 -\frac{z}{\lambda} 在M内。那么也就是 \pi\geq q(-\frac{z}{\lambda}) ，因为q是线性泛函，我们可以等价地得到 q(z)+\lambda \pi\geq0 ，也就是 Q(y)\geq0 。对于 \lambda<0 的情况证明方式类似。

至此证毕。

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参考文献

[1] Stephen F. LeRoy, Werner Jan, 2014, Principles of Financial Economics (second edition).