很多人不理解，其实是因为误解。把定义解释清楚就好明白了。

一米是存在的，1/3米这个长度存在吗？肯定也存在的，那么把这个长度用小数表示出来呢？大家就会发现0.3无论怎么写都不够，这个3写的越多，越接近1/3，但是永远不会相等，是的，永远不会相等，因为无穷是写不完的。那么该怎么用小数表示呢？

先看我们用汉字怎么表示，（0.3无限写下去，会无限接近而永远也达不到的那个数。）这个达不到得数是多少呢？肯定是1/3啊，好了，汉字表示出来了，那用小数表示呢？既然写不完，好吧，发明一个符号，0.3∞。这个数就是括号里汉字表示的同样的意思，0.3无限写下去也到不了的数，是多少呢？当然就是1/3。

所以，0.3∞表示的就是1/3，那个手写永远也达不到的数，换了个符号来表示。同理，0.9后面无论你怎么写9，也到不了1，但是会无限趋近1，我们就用0.9∞来表示这个无限趋近的数，所以0.9∞就是1。

唯心主义数学家习惯将无限循环小数0.999…作为纯粹抽象数。不辨别它的动态、静态性质，错误地将其认定为有理数，得出0.999… =1的荒谬结论，它相当于过程等于结果、生等于死，与事理经验逻辑严重冲突，必须揭露批判。

如令0.9…=0.9+X，则X=0.09+0.009+0.0009+……；又令1=0.9+x，则|x|=0.1；|X|=|0.09+0.009+0.0009+……|≤0.1；∴0.9…≤1.证毕。

所以它们不相等，只是无限相似趋近于相等，导数和极限也同时为0，但并不代表一定相等。比如太阳毁灭那天，8分半钟后，也许地球也毁灭了。但地球此必然事件概率为0.5，即地球可能会毁灭，也可能不会受到太阳氦闪而毁灭。

因为宇宙膨胀理论说，宇宙在以超过亿万倍光速的膨胀速度生长。太阳氦闪那一瞬间，也许就会发生宇宙超光速亿万倍的膨胀，也就没地球什么事了。只是没有了太阳能消毒，杀菌，补钙，照明……

看图不难发现，无限长篇大论，也抵不过智慧的三言两语。又比如科学计算：

(1+x)¹²Λ100=1.1Λ1200=4.69053293633E49；(0.9+X)¹²Λ100≤1Λ1200=1；显然(1+x)的1200次方是(0.9+X)的1200次方的4.69053293633E49倍。这是近4.691×10⁴⁹倍差距。超过了近似宇宙倍天文单位了。

综上所述，物理意义上1和0.9…它们也不等，显然基数大的动态值就能无穷大。

很肯定地说，1与0.9的无限循环是一样大的。

最简单的，是用1÷1=0.999……来计算。我们在计算1除以1的时候，个位上写零，从十分位上开始计算，总是余数是1，保证下一步计算得数为9，也就是会出现0.9的无限循环小数。

在这个计算中，没有出现数字的损耗。因为1÷1=1，1÷1=0.999……，所以，1=0.999……是没有问题的。

实际上，任何一个整数都可以变成一个无限循环小数。这在我们的生活中似乎意义不大，但是在数学中却有着很重要的作用。

我们在初学几何的时候都知道，平行线是两条永远不能相交的直线。但是，再往高学，我们可以理解为两条平行线会在无穷远的地方相交。实际上，这也和把1变成0.9的循环小数是一样的道理。

我们在计算圆周率的时候，主要方法就是用圆切正多边行进行计算，现在已经计算到天文数字位数了吧。当我们把圆的周长约等于内切正六边形的时候，圆周率的值就是整数3，当把正六边形扩大为正十二边形的时候，十二边形的周长会更接近圆的周长。就这样按几何级别不断扩边，当达到无穷边形的时候，就是个圆形了。

所以，这种东西，在数学中的作用还是很大的，运用得好，可以解决一些大问题的。

这个问题，很厉害！

你可以说：1=0.99...9，

因为，1=0.99...9=lim(1-0.1ⁿ)(n→∞)...(1)。

你也可以说：1≠0.99...9，

▲这个证明没毛病啊！问题在于∞是否存在。

这就是说，数学中的无穷大、无穷小、绝对零，在现实中不存在，可人类是现实的啊。

{∞⁻¹，∞⁻²，...，∞⁻ⁿ}，是不同的无穷小集合，显然是一种数学存在，却是极其荒谬的。

{∞⁺¹，∞⁺²，...，∞⁺ⁿ}，是不同的无穷大集合，当然是一种数学存在，但也是极其荒谬的。

——无穷大之外的之外，怎么可能还有无穷大呢？此时数学家的心，哪个不是拔凉拔凉的？

所以，笔者提醒瓜民们：不信数学万万不能，迷信数学万万不能，祂就是欲罢不能的魔。

所以，笔者奉劝大师们：数学有自身瑕疵，警惕无穷小与无穷大悖论。第二次数学危机犹在。

那么，我们怎么才能规避数学固有的瑕疵呢？笔者提供以下几个建议：

其一，把无穷小改作足够小，足够小之内可忽略，足够小可近似为零，可以忽略不计。

例如：0.99...9≤1，0.11≤0.111≤0.11...1，0.66...6≤0.66..67...≤0.67。

其二，把无穷大改作足够大，足够大之外可以忽略，足够大可近似为最大值。

例如：若太阳系引力场平均密度ρ=1.35×10⁻²⁵ kg/m³，太阳系体积V≥M⊙/ρ=1.48×10⁶⁵m³

太阳系引力场的最大半径：R≥³√(V/0.75π) =3.28×10²¹m，即3.5万光年。

这样，就可以避免“任何物体的引力场半径都是无穷大”的神逻辑。

其三，把绝对零改作相对零。现实中的零，都是相对零、参照零。数学零是不存在的。

尤其：要把数学抽象的坐标系，改作物理具体的参照系。坐标原点S(0,0,0)是相对零点。

例如：盈亏平衡点的零，是偿付固定成本之边际效益临界点。摄氏温标0℃不是没有温度。

Stop here。物理新视野与您共商物理前沿与中英双语有关的疑难问题。

1=0.999……

下面运用三类不同方法来给出证明，每类方法可以有多种方法，都大同小异，按照小学可以接受，初中可以接受，高中可以接受的顺序给出，就是由简单到复杂的顺序

一，小学就可接受，

1 ， 0.99……=9×0.11……=9×1/9=1

2， 0.99……=9/2×0.22……=9/2×2/9=1

3 ，0.99……=3×0.33……=3×1/3=1

………………

聪明的你看到这是不是很快就会得出其他方法，在此不再赘述

二，初中可以接受

1 ， 设x=0.99……, 则x/10=0.099……

得x=0.9+x/10

解得x=1

就是1=0.99……

2 ， 设x=0.99……,则x/100=0.0099……

得x=0.99+x/100

解得x=1

就是1=0.99……

其他大同小异，不再赘述

三，高中可以接受

0.99……=0.9+0.09+0.009+……

(无穷递缩等比数列，首项为0.9,公比为0.1)

=0.9/(1-0.1)=1

所以1=0.99……

对于大多数人来说，第一类方法完全可以接受，但是，我问过很多学生，主要是高中生，大部分想当然的认为1≠0.99……结果却是相等！很意外吧？！[呲牙][呲牙][呲牙]

在用0.99……=3×0.33……=3×1/3=1证明过程中，总共用了三个等号，第二个等号是最关键的，也是他们看了后，豁然开朗的！

数学就是这么神奇，生活中还有很多看似不可能，实际是可能的式子，愿你展开思维的翅膀，在数学的海洋中，尽情翱翔！！[祈祷][祈祷][祈祷]

本人作为985高校毕业的数学学士和硕士，在此真心跟大家探讨这个问题，如果你也对数学感兴趣，欢迎一起探讨，但是，如果你是喷子，或者说不懂装懂，那么请你离开，远一点，多远？要多远有多远 就如同0.999…………一样[呲牙][呲牙][呲牙][呲牙][呲牙][呲牙]

1和0.9的无限循环哪个大？简单的数学题曾引发人类数学危机！

最让人纠结的等式，拥有多彩的论证形式

“0.999…=1吗?”很多人在小学和中学时都遇到过这个问题，并且现在国内外网站上关于这个问题的讨论仍然很多，认为0.999…=1和0.999…<1的两派都有自己的理由。

认为0.999…=1的人常给出下面三种证明方法：

证法1（最简单的“证明”）：0.111…=1/9,0.222…=2/9，…,0.999…=9/9=1；或者0.333…=1/3，两边同时乘以3，得到0.999…=1。

调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在，问题并没有解决。

证法2（“充满争议的证明”）：设0.999…=x，则10x=9.999…；两边同时减去x，得10x-x=9.999…-0.999…；化简，得9x=9，解得x=1；所以，0.999…=x=1。

有专家在看到这个证明后如此评价：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性。他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”

证法3：若0.999…不等于1，假设0.999…<1，则0.999…<(0.999…+1)/2<1。记t=(0.999…+1)/2，则0.999…<t<1，则t的整数部分小于1，t只能写成0.999…的形式，所以t=0.999…。这与“两个不相等的数的均值必在这两个不相等的数之间”矛盾，所以0.999…=1。

但认为0.999…<1的人对上述三种证明方法表示怀疑，因为这三种证明方法都是基于数学事实“无限循环小数是分数的另一种表示”，将无限循环小数0.999…看作是分数9/9（=1）的另一种表示，就像0.111…是1/9的另一种表示一样。对整数1，我们在计算1/1时，首商0，然后添加小数点，后面就只能继续商9，最后得到1=1/1=0.999…。这只是一种除法运算，并没有真正证明“0.999…=1”。

也有人用无限等比数列求和的方法证实或证伪0.999…=1:

0.9=9/10，0.99=9/10+1/100,0.999=9/10+9/100+9/1000,…,

0.999…=9/10+9/100+9/1000+…+9/10ⁿ=[9/10*(1-1/10ⁿ)]/(1-1/10)=1-1/10ⁿ。

下面看一下图像证明法：

在这张图中，我们可以很清晰地看到边长为1的正方形被不断地对半切割开来，而它的面积为1。但是依然有人质疑这种方法，因为这种方法看起来并不完美。实际上大正方形的右上角是永远无法被填满的。

这个问题的背后，是不同数学体系的碰撞

上述两种说法都看似有道理，但0.999…要么等于1，要么不等于1，不可能同时出现两种结果。

这里出现分歧的原因是对无穷小的认识不同，这也是第二次数学危机中争论的焦点：无穷小究竟是否等于0？无穷小量是一个变量，而在用无穷等比数列求和的证明方法中，左边0.999…是一个常量，右边无限数列求和得到的表达式是一个变量，所以上述证明过程是无效的。

那么如何证明“0.999…=1”呢？这就需要用到戴德金切割定理，也称实数完备性定理：对两个实数集A，B， A中的任意元素a小于B中的任意元素b，则A和B构成实数集R的一个切割，则或者实数集A有最大数，或者实数集B有最小数。

戴德金切割定理同样适用于有理数。根据戴德金切割定理，可证明有理数集Q的一种分割确定唯一一个有理数，且相同的分割确定的有理数相同。可以证明0.999…和1确定的有理数集的分割相同，从而0.999…=1。

戴德金分割证明如下：

我们可以尝试在1和0.9循环分别进行分割，分割成集合A集合B，和集合C集合D。

A等于C或B等于D，那么别可以证明1和0.9循环相等。

在证明A是C的子集时，我们可以先讨论有理数。然后再利用无理数分割后上无最小有理数。知道一定有有理数大于讨论的无理数但小于0.9循环。

物理角度的再认识

1.、无限的意义是什么？

0.9的无限循环真的可以吗？如果让一个数学家去回答这个问题，答案当然就是肯定的，这没毛病。然后把这个问题抛给一个物理学家去回答的话，物理学家会陷入沉思，并且告诉你，这需要通过实验去验证。

在物理学中，由于0.9不能无限循环，因此0.9的循环和1拥有完全不同的物理意义，它们是不相等的，0.9的循环小于1。

2、有质量的物质的运动速度不能达到光速

高中物理课上，我们都接触过狭义相对论中的洛伦兹协变公式。在质速方程式中我们可以看到，任何一个有质量的物体，如果速度被加速到接近光速，那么它的质量将变得无穷大。我们当然是没有那么多的能量能办到这种事。如果把光速看做是1的话，即使是一个电子我们也只能是把它加速到0.9的无限循环，但永远都不可能等于1,。因为，这要消耗掉整个宇宙的能量。所以1和0.9的循环有着本质的区别。

如果我们把0.9的无限循环看做是我们现在这个宇宙的曲率，那么即使它是无限接近于1的，也意味着，我们的这个宇宙是个封闭的宇宙。当宇宙的曲率等于一时，我们就是一个平坦的开放的宇宙。这是完全不同的两种情况。数学家不应该让0.9的无限循环等于1。

关于无限小是不是有意义的问题也引起了一大批统计学家的关注，今年年初三位统计学家联名发在《自然》杂志上发表了一封公开信，质疑了统计学课本中写到的：“没有统计显著性则不能‘证明’零假设（关于两组之间无差或者两个实验组和对照组的假设）。同时，统计显著性也不能‘证明’其他假设。”。他们表示，这种误解用夸大的观点扭曲了文献，而且导致了一些研究之间的冲突。这一质疑迅速得到了，超过800名科学家的支持。

《自然》杂志连续刊发了超过40篇论文都是关于：“21世纪统计推断：P＜0.05以外的世界”的学术论文。这三位科学家指出，他们并不是要禁止P值的使用，而是提议在常规的二分法的情况下不使用P值来决定一个结果是否反驳一个科学假设。其实如果让0.9的无限循环等于1，相当于在数学上正是否定了0.1的无限次方这个无穷小量的真正意义。

这一争议引发类似的数学界的争议，引发第二次数学危机

经典的芝诺悖论，这也算是物理学界的一个争议，阿基里斯与乌龟芝诺赛跑，乌龟在阿里斯基前面先跑100米，然后阿基里斯才开始跑。

其实这一争议的实质就是数学上所谓的第二次数学危机的问题。早在公元前450年，芝诺就注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论。到了17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。

直到19世纪20年代，威尔斯特拉斯在前人工作的基础上，消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。然而关于无穷小量的争议并没有因此就结束，关于第二次数学危机，自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。

结语

正如高斯所说数只是我们心灵的产物 。但是我觉得也许这一切会因为数学的发展而改变，就像无理数实数的出现一样。也许有一天，我们能够公理化的形容无穷小。在那一天，我们就能更好的对待0.9循环和1的区别了。

其实本文并不是一个简单的0.9的无限循环是否等于1这个问题的争论，我想说明的问题是：如果我们不能给数学赋予一定的意义，那么数学存在的意义是什么？科学向来讲究的是求真、求实，向客观存在探讨真理是科学的本质。希望有一天科学家能够找到最终答案，在0.9的无限循环这个问题面前不再彷徨。

这个问题有点无聊。

连极限的概念都没弄懂，也敢吹什么数学证明？

0.9后面再加多少个9，也不是1。只是与1的差距越来越小。当小数点后面9的个数有无穷个的时候，认为无限趋近于1，或者说差趋近于零。只是在这个意义上，两者相等。注意是定义为相等，不证自明。

用小学生能听懂的话来说，那就是：0.9999999999……是个小数，1是整数。

1是自然数。0.99999999……不是，只是一个无限循环小数。

自然数是从屈指可数开始的，1就是第一个能数出来的。小数是算出来的，直接或间接；分数是分割出来的。

零不是数出来的，零是减出来的。桌子上有苹果，数了个数，拿了同等个数，生活经验说桌子上没有苹果了，算术说有零个。如果想拿的超过桌上苹果数量，就产生了负数。唐代引进阿拉伯数字的同时引进了零的概念。引进零概念才是真正的数学体系开端，同阿拉伯数字一样，不是华夏自古以来天然就有的。

如果在特定的数学领域，涉及到具体概念，一般来说，1与0.99999999……是否相等，也并不是证明的问题，而是这门数学如何定义。比如近似计算只要求最终结果保留几位有效数字，又允许四舍五入，那么只要有限个，例如4个9就可以认为等于1。注意这只是表明，实际问题中人们不可能真正得到无限精确的1，只能说这个1的精度是多少。

生活中，人们常见的温度计可以看做一根竖直放置的数轴。确定一个零点，高于的是零上，正值，反之负值。但冰冻的过程其实是渐变的，你真的不知道冬天室外的一盆水究竟什么时刻达到零度的，只有大概时间段，因为这不是瞬间完成的。从零开始增长，到达1的过程也是这样。不会是突变，那个临界点就是困扰物理学家的趋近界。

还可以这样理解：实数轴上，1左边的区间，离1最近的点就是0.999999……。这个点与1的距离趋于无穷小，或者趋于零，但这点并不与1重合。

至于其它数学领域，大家知道，二进制中，只有1和0，0.99999……就没法凑热闹了。

布尔代数中，1的定义是正极向，或者高电位，当然也可以是负逻辑，也没0.99999……什么事。

所以，0.9999……是否等于1，只是某个数学或工程技术领域的规定。从此出发建立一套体系。它本身不可证明，除非你一定要陷入死循环。