1和0.9的循环哪个大?为什么总有人列出一些公式来证明它们相等?

2022-04-18 20:46发布

1和0.9的无限循环哪个大?简单的数学题曾引发人类数学危机!最让人纠结的等式,拥有多彩的论证形式“0.999…=1吗?”很多人在小学和中学时都遇到过这个问题,
10条回答
一条秋裤行天下 一心炒股
1楼 · 2022-04-18 21:09.采纳回答

很多人不理解,其实是因为误解。把定义解释清楚就好明白了。

一米是存在的,1/3米这个长度存在吗?肯定也存在的,那么把这个长度用小数表示出来呢?大家就会发现0.3无论怎么写都不够,这个3写的越多,越接近1/3,但是永远不会相等,是的,永远不会相等,因为无穷是写不完的。那么该怎么用小数表示呢?

先看我们用汉字怎么表示,(0.3无限写下去,会无限接近而永远也达不到的那个数。)这个达不到得数是多少呢?肯定是1/3啊,好了,汉字表示出来了,那用小数表示呢?既然写不完,好吧,发明一个符号,0.3∞。这个数就是括号里汉字表示的同样的意思,0.3无限写下去也到不了的数,是多少呢?当然就是1/3。

所以,0.3∞表示的就是1/3,那个手写永远也达不到的数,换了个符号来表示。同理,0.9后面无论你怎么写9,也到不了1,但是会无限趋近1,我们就用0.9∞来表示这个无限趋近的数,所以0.9∞就是1。

2楼-- · 2022-04-18 21:06

证明满足0.999...<a<1的数a不存在

如果存在数a 那么a的整数部分必然为0 如果为a整数部分≥1 则a≥1与题设矛盾 如果是负数则a<0<0.999...也矛盾

考虑a的小数部分 假设他的第n位不等于9 那么这个数就会小于0.999... 矛盾

剩下的情况是 a的每一位都等于9 这样这个数=0.999... 依然矛盾

所以符合条件的数a不存在 所以0.999...=1

3楼-- · 2022-04-18 21:11

反正我认为不相等。

实数是人为定义的,就像四舍五入一样,或者可以说如果不是人为定义的,它们就不相等。举个例子:

0.3×9=2.7

0.33×9=2.97

0.333×9=2.997

0.3333×9=2.9997

0.33333×9=2.99997

……

看到没有永远有一个7拖在后面,如果没有3×9=27,写7进2,加到前面一个7(7+2=9),然后变成9。所以我们知道这些9是怎么来的,都是7进2加成9的。也就是说没有最后一个27进2,7的前面就不可能是9,换句话说前面就算有无数个9,最后一位肯定是7。

好了我们继续看

0.33333……×9=2.99999……7(此时0.33333……不是循环数,就当比无数少一个吧,或者接近无数)

0.33333……×9=2.99999…… (此时0.33333……是个循环数)

咦怎么一循环最后那个7不存在了呢?

问题就出在这里,请问2.99999……(循环数)这里的9怎么计算来的,你和我说3×9=27,进2得来的,那最后一个7呢?

你会回答因为0.33333……是循环数,所以2.9999……后面没有7,老师是这样教的,数学家也是这样说的,实数的定义(什么稠密性啊)不允许7存在。

7不存在?但是7参与了计算整个过程,没有最后一位7(3×9=27)进2,前面9就不可能有,管你是实数还是虚数,是有理数还是无理数,是循环数还是非循环数,所有的数都遵循四则运算基本法则,如果凭空消失(就像四舍五入一样),那为了等式成立,一定是人为的。

假如我非要写成2.99……7呢?人家说这个数不存在,有悖于实数。

我想未来要是有一个牛逼的数学家给这类数定义为超实数(暂时用这个名字)呢?那么是不是2.99……7就可以?

再看

0.33……×1=0.33……

0.33……×2=0.66……

0.33……×3=0.99……

0.33……×4=1.33……(后面2没有了)

0.33……×5=1.66……(后面5没有了)

0.33……×6=1.99……(后面8没有了)

0.33……×7=2.33……(后面1没有了)

0.33……×8=2.66……(后面4没有了)

0.33……×9=2.99……(后面7没有了)

为什么歧视×4 5 6 7 8 9,把循环数后面的干掉?因为实数啊,后面那个和前面不同没有意义。而且既然是无限循环了,哪来的后面那个数?说的好。我就反问,没有后面那个数参与计算,你循环个毛线?你前面是不是循环还不一定呢!不要干过河拆桥的事好吗?(就像临时工一样,参与工作,干完走人)

所以我认为,0.99……和1是不相等的,因为一开始就是数学家给实数定了义,把最后一个数拿掉了。或者换句话说,在实数的定义下,可以是相等的。

大家有不同见解欢迎评论!

4楼-- · 2022-04-18 21:12

说不相等的,要么没上过高中,要么高中数学很渣很渣(但凡稍微学过高中数学就能解了)。说白了就是高中极限、等比数列的例题

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